imported>יהודה שמחה ולדמן: הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים

2023-12-28T06:22:49Z

הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים

דף חדש

{{סימון מתמטי}}
ב[[אלגברה]], '''חבורת מנה''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] המתקבלת מ"קיפול" האיברים של חבורה נתונה, בהתאמה ל[[תת-חבורה נורמלית]]. הבניה של חבורות מנה היא מן הבניות היסודיות ביותר ב[[תורת החבורות]] (ובאלגברה בכלל), וחבורות המנה מופיעות באופן טבעי בכל מקום שבו מוגדר [[הומומורפיזם]] מחבורה לחבורה אחרת, או כאשר חבורה [[פעולת חבורה|פועלת]] על מרחב.

==הגדרה==
תהא <math>G </math> חבורה ותהא <math>N\triangleleft G</math> [[תת-חבורה נורמלית]] שלה. הנורמליות פירושה שלכל איבר <math>a</math> בחבורה, המחלקות <math>Na=\{na:n\in N\},\,aN=\{an:n\in N\}</math> שוות זו לזו. נתבונן באוסף המחלקות <math>G/N=\{aN:a\in G\}</math>.

כפל הקבוצות <math>aN\cdot bN=a(Nb)N=a(bN)N=(ab)NN=abN</math> מראה שהפעולה <math>aN\cdot bN=abN</math> מחזירה איבר של <math>G/N</math>, ואינה תלויה בנציגים. פעולה זו הופכת את <math>G/N</math> לחבורה, הנקראת "חבורת המנה של <math>G</math> ביחס ל-<math>N</math>". האיבר האדיש בחבורה זו הוא הקבוצה <math>eN=N</math>.

הוכחה כי <math>G/N</math> חבורה ביחס לכפל מחלקות:
#ה[[פעולה אסוציאטיבית]] משום שלכל <math>aN,bN,cN\in G/N</math> מתקיים <math>aN\cdot(bN\cdot cN)=(a(bc))N=((ab)c)N=(aN\cdot bN)\cdot cN</math> לפי אסוציאטיביות הכפל ב-<math>G</math>.
#המחלקה <math>N=eN</math> היא [[איבר יחידה]] של הפעולה, משום שלכל <math>aN\in G/N</math> מתקיים <math>N\cdot aN=(ea)N=aN,\,aN\cdot eN=(ae)N=aN</math>.
#לכל <math>aN\in G/N</math> יש [[איבר הופכי]], <math>a^{-1}N</math> – שהרי <math>aN\cdot a^{-1}N=(aa^{-1})N=N</math>.

חבורת המנה איננה תת-חבורה של <math>G</math>. איבריה הם תת-קבוצות של <math>G</math> ולא איברים של <math>G</math>.

===הסדר===
ה[[סדר (תורת החבורות)|סדר]] של חבורת המנה <math>G/N</math> הוא ה[[מחלקה (תורת החבורות)|אינדקס]] של <math>N</math> בתוך <math>G</math>, שאותו מסמנים ב-<math>[G:N]</math>, ומתקיים <math>|G|=[G:N]\cdot|N|</math>. כאשר <math>G,N</math> סופיות, האינדקס שווה ל-<math>\frac{|G|}{|N|}</math> – מנת הסדרים של <math>G,N</math>. העובדה שסדר זה חייב להיות שלם מוכיחה, למעשה, את [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']].

==דוגמאות==
*<math>G/G\cong\{e\}</math>, ואילו <math>G/\{e\}\cong G</math>.
*נביט ב-<math>(\Z,+)</math>, חבורת המספרים השלמים עם פעולת החיבור, ובתת-החבורה שלה <math>(2\Z,+)</math>, חבורת כל המספרים הזוגיים עם פעולת החיבור.
:זוהי תת-חבורה נורמלית שכן <math>\Z</math> [[פעולה קומוטטיבית|חילופית]] ולכן כל תת-חבורה שלה נורמלית.
:ל-<math>2\Z</math> שתי מחלקות: <math>\{2n:n\in\Z\},\,\{2n+1:n\in\Z\}</math>. לכן <math>\Z/2\Z\cong\Z_2</math>, כלומר חבורת המנה [[הומומורפיזם|איזומורפית]] לחבורת השלמים מודולו 2 (שהיא החבורה היחידה בת שני איברים עד כדי [[איזומורפיזם]]).
:ובאופן כללי <math>\Z/n\Z\cong\Z_n</math>, כאשר <math>n\Z</math> היא תת-החבורה של <math>\Z</math> הכוללת את האיברים המתחלקים ב-<math>n</math>.
*מסמנים ב-<math>\mathbf{GL}_n(F)</math> את חבורת [[מטריצה הפיכה|המטריצות ההפיכות]] מסדר <math>n</math> מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math>, וב-<math>\mathbf{SL}_n(F)</math> את חבורת המטריצות שה[[דטרמיננטה]] שלהן שווה ל-1. השנייה היא תת-חבורה נורמלית בראשונה, וחבורת המנה איזומורפית לחבורה הכפלית של השדה.

==קבוצת המנה==
את אוסף המחלקות השמאליות <math>G/H</math> אפשר לבחון לכל תת-חבורה <math>H</math>, גם אם היא אינה נורמלית ב-<math>G</math>. חשיבותה העיקרית של קבוצה מסוג זה היא בכך שהחבורה [[פעולת חבורה|פועלת]] עליה [[פעולה טרנזיטיבית]], <math>g:xH\to gxH</math>, כאשר ה[[פעולת חבורה#מסלולים ומייצבים|מייצב]] של הנקודה <math>H</math> הוא החבורה <math>H</math> עצמה. מתברר שכל קבוצה שעליה פועלת <math>G</math> באופן טרנזיטיבי איזומורפית לקבוצת מנה מן הטיפוס הזה.

==ראו גם==
*[[משפטי האיזומורפיזם]]
*[[חוג מנה]]
*[[אלגברת מנה]]

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld}}
[[קטגוריה:תורת החבורות]]

חבורת מנה - היסטוריית גרסאות

imported>יהודה שמחה ולדמן: הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים