imported>דולב: טיפול בבעיית תצוגה בתפריט

2026-01-03T11:24:28Z

טיפול בבעיית תצוגה בתפריט

דף חדש

[[קובץ:Square root of 2 triangle.png|שמאל|ממוזער|200px|השורש הריבועי של 2 הוא אורכו של ה[[יתר]] ב[[משולש ישר-זווית]] ו[[משולש שווה-שוקיים|שווה-שוקיים]] שאורך ניצביו הוא 1.]]
'''השורש הריבועי של 2''', ידוע גם כ'''קבוע פיתגורס''', לרוב מסומן כ- <math>\sqrt{2}</math>, הוא ה[[מספר ממשי|מספר הממשי]] ה[[מספר חיובי|חיובי]] שכאשר יוכפל בעצמו, תהיה התוצאה שווה ל-[[2 (מספר)|2]]. זהו ככל הנראה ה[[מספר אי-רציונלי|מספר האי-רציונלי]] הידוע הראשון. ה[[שורש ריבועי|שורש הריבועי]] של 2, מעוגל ל-50 הספרות הראשונות הוא:{{הערה|את מיליון הספרות הראשונות ניתן למצוא באתר של [http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.1mil Robert J. Nemiroff].}}
: 37695 71875 85696 69807 24209 16887 04880 73095 35623 1.41421
על-פי [[משפט פיתגורס]], השורש הריבועי של 2 הוא אורך ה[[אלכסון]] ב[[ריבוע יחידה|ריבוע שאורך צלעותיו הוא 1]].

ה[[קירוב בשברים]] <math>\tfrac{99}{70}</math> עבור שורש 2 מדויק עד לספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

המספר <math>\ 1+\sqrt{2}</math> נקרא לפעמים "[[יחס הכסף]]".

==היסטוריה==
[[קובץ:Ybc7289-bw.jpg|שמאל|ממוזער|200px|לוח חרס בבלי (המתוארך לשנת 1800 עד 1600 לפני הספירה) עם הסברים]]

לוח חרס [[בבל|בבלי]] (המתוארך ל-1800 עד 1600 לפנה"ס){{הערה|1=YBC7289 באוסף אוניברסיטת ייל}} נותן קירוב של <math>\sqrt{2}</math> בדיוק של ארבע ספרות [[בסיס סקסגסימלי|סקסגסימליות]] שהן כשש ספרות [[בסיס עשרוני|דצימליות]]:
:<math>.1+\tfrac{24}{60}+\tfrac{51}{60^2}+\tfrac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}</math>
אזכור קדום נוסף של <math>\sqrt{2}</math> בקירוב מופיע במסמך [[היסטוריה של הודו|הודי עתיק]] הנקרא "שולבא-סוטרא": "הגדילו את אורך הצלע בשליש ממנה, הוסיפו רבע מן השליש שלה והפחיתו אחד חלקי שלושים וארבע של הרבע שהוספתם" - שזה אומר:
:<math>.1+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3\cdot4}-\tfrac{1}{3\cdot4\cdot34} = \tfrac{577}{408}\approx 1.41421\overline{5686}</math>
הקירוב ההודי העתיק הוא למעשה המספר השביעי ב[[סדרת פל]], והמספרים הבאים בסדרת פל משמשים לקירוב יותר מדויק של השורש הריבועי של 2.

בתלמוד מוזכר כי {{הדגשה|כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשא באלכסונא|{{בבלי|סוכה|ח|א}}}} (הקירוב 1.4), ובעל התוספות במקום מוכיח שהחישוב אינו מדויק.{{הערה|{{בבלי|סוכה|ח|ב|מפרש=תוספות|ד"ה=כל}}}}

גילוי המספרים האי-רציונליים מיוחס ל[[היפאסוס]], מחברי [[האסכולה הפיתגוראית]], שמצא הוכחה שהשורש הריבועי של 2 הוא מספר אי-רציונלי. אולם, דבר הגילוי נשמר בסוד על-מנת שלא לסתור את טענת האסכולה הפיתגוראית שהעולם כולו ניתן לתיאור כיחסים בין מספרים טבעיים, והיפאסוס סולק מן האסכולה הפיתגוראית (ולפי גרסאות אחרות הוטבע על ידי פיתגורס ותלמידיו). עם זאת, אין לסיפור זה סימוכין.

חוקרים בני זמננו סבורים כי גילויים של המספרים האי-רציונליים, לא זעזע את עולמו של פיתגורס. הם מסבירים שהמקור לאגדה זו הוא שהיוונים בתקופתו של פיתגורס, השתמשו באותה מילה כדי לתאר מספרים אי-רציונליים וכדי לתאר תופעה "לא רציונלית" - תופעה שהיא בבחינת "לא תיאמן". קיומם של מספרים אי-רציונליים מוזכר לראשונה אצל [[אפלטון]], יותר ממאה שנים לאחר מות פיתגורס.

==דרכים לחישוב {{D}}√2==
ישנן דרכים רבות לחישוב השורש הריבועי של 2 - ניתן להיעזר בשיטות ל[[הוצאת שורש ריבועי|מציאת שורש ריבועי]], שהשיטה הבבלית היא אחת מהן. שיטה נוספת היא להיעזר ב[[סדרת פל]] - ככל שנתקדם בחישוב איברים נוספים של הסדרה נקבל ערך מדויק יותר של השורש הריבועי של 2. למעשה, ניתן לבטא זאת באמצעות [[שבר משולב]]:
:<math>\sqrt2 = 1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}}</math>
מן השבר הזה מתקבלת סדרה של קירובים בשברים: <math>\tfrac{3}{2}, \tfrac{7}{5}, \tfrac{17}{12}, \tfrac{41}{29}, \tfrac{99}{70}, \dots </math>.

בשנת [[1996]] חושב הערך של השורש הריבועי של 2 עד כדי 137,438,953,444 (כ-137.4 מיליארד) ספרות לאחר הנקודה, על ידי היפני יאסומסה קאנאדה. בשנת [[2006]] נשבר השיא של חישוב ספרות לאחר הנקודה של השורש הריבועי של 2 והגיע ל-200 מיליארד ספרות לאחר הנקודה; החישוב, ב[[מחשב ביתי]], נמשך 13 ימים ו-14 שעות.

למעשה, בין הקבועים המתמטיים האי-רציונליים (שאינם [[שבר מחזורי]]), רק הקירוב של [[פאי]] חושב יותר ספרות לאחר הנקודה.

==הוכחת אי רציונליות==
ישנן הוכחות רבות לאי-רציונליות של שורש 2. ההוכחה המפורסמת ביותר ניתנה על ידי [[אוקלידס]] והיא ניתנת כאן:

[[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיימים [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] [[מספרים זרים|זרים]] <math>m,n</math> כך ש:
#<math>(\tfrac{m}{n})^2=2</math>. אז <math>m^2=2n^2</math>, ולכן <math>m^2</math> [[מספר זוגי|זוגי]].
# לו היה m אי-זוגי, גם <math>m^2</math> היה אי-זוגי; מכאן ש-<math>m</math> זוגי, ולכן <math>m=2k</math> כאשר <math>k</math> מספר טבעי. נציב ונקבל <math>(2k)^2=2n^2</math>, כלומר <math>2k^2=n^2</math>.
#באותו אופן גם <math>n^2</math> זוגי, ולכן <math>n</math> זוגי - בסתירה להנחה ש-<math>m</math> ו-<math>n</math> זרים. לכן אין ל-2 שורש רציונלי.

==הוכחה לא בונה==
שורש 2 משמש תפקיד מרכזי בדוגמה מפורסמת ל[[הוכחה לא בונה]]{{הערה|1= Jarden, D., Curiosa No. 339, Scripta Mathematica 19 (1953), p.229 {{אנגלית}}}} (הוכחה המראה קיומו של עצם מבלי להראות כיצד ניתן להשיגו). ההוכחה מראה קיום [[מספר אי-רציונלי]] בחזקת מספר אי-רציונלי הנותן תוצאה רציונלית. נתבונן בשורש 2 בחזקת שורש 2, כלומר: <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math>. אם הוא רציונלי, מצאנו. אחרת, נעלה מספר זה בחזקת שורש 2 ונקבל את התוצאה הרציונלית 2.

בזכות [[משפט גלפונד-שניידר]] ידוע כי במקרה הזה <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> [[מספר טרנסצנדנטי]] ולכן גם אי-רציונלי.

==תכונות==
השורש הריבועי של 2 הוא [[מספר אלגברי]], ויתר על כן, הוא [[שלם אלגברי]], שכן הוא שורש של ה[[פולינום מתוקן|פולינום המתוקן]] <math>\,x^2-2\in \mathbb{Z}[x]</math>.

<math>\sqrt2</math> בחזקת עצמו [[אינסוף]] פעמים שווה ל-2 (ראו [[מגדל חזקות]]).

==שימושים==
לגליונות [[נייר]] ב[[תקן]] [[ISO 216]] יחס של <math>\sqrt 2</math> בין אורכי צלעותיהם. כך יחס הצלעות נשמר בקיפול מדויק של הגיליון לשניים. לדוגמה, מידות דף [[A4]] הן 210 על 297 [[מילימטר]]ים – יחס מדויק עד הספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית. סדרות הגליונות בתקן זה מוגדרות כך שכל דף קצר פי <math>\sqrt 2</math> במידות האורך מקודמו בסדרה (A4 קצר פי <math>\sqrt2</math> מ-A3), וכך תוצאת קיפול או חיתוך גיליון לשניים מתקבלת במידותיו של הגיליון הבא בסדרה.

היחס בין [[תו מוזיקלי|תווים מוזיקליים]] שהמרווח ביניהם הוא [[טריטון (מוזיקה)|טריטון]] בתדר שלהם הוא 1:<math>\sqrt 2</math>.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{נטגר|דוד בלנק|חישוב 2√|חישוב-2√|30 בנובמבר 2015}}
* {{MathWorld}}
* {{OEIS|A002193|סדרת הספרות המרכיבות את השורש הריבועי של 2}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{מספרים אי-רציונליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מספרים אלגבריים]]
[[קטגוריה:אוקלידס]]

השורש הריבועי של 2 - היסטוריית גרסאות

imported>דולב: טיפול בבעיית תצוגה בתפריט