https://www.yisraelpedia.com/index.php?action=history&feed=atom&title=%D7%94%D7%95%D7%9B%D7%97%D7%94הוכחה - היסטוריית גרסאות2026-09-14T11:30:25Zהיסטוריית הגרסאות של הדף הזה בוויקיMediaWiki 1.43.8https://www.yisraelpedia.com/index.php?title=%D7%94%D7%95%D7%9B%D7%97%D7%94&diff=402&oldid=previmported>Virant: /* השערה */2026-03-24T02:03:06Z<p><span class="autocomment">השערה</span></p>
<p><b>דף חדש</b></p><div>{{פירוש נוסף}}<br />
{{סימון מתמטי}}<br />
ב[[מתמטיקה]] וב[[לוגיקה]], '''הוכחה''' היא סדרה סופית של [[טענה|טענות]] הנובעות זו מזו בעזרת כללי היסק, תוך שימוש ב[[הגדרה|הגדרות]], ב[[אקסיומה|אקסיומות]], ובידע קודם שהוכח קודם לכן, המראה שטענה מסוימת היא נכונה.<br />
<br />
[[הפרכה]] של טענה מהווה גם היא הוכחה – הוכחה שטענה זו אינה נכונה (כלומר ששלילתה של הטענה היא נכונה). טענה שטרם זכתה להוכחה קרויה [[השערה (מתמטיקה)|השערה]], וטענה שזכתה להוכחה קרויה [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] או תאורמה.<br />
<br />
[[קובץ:Proof-box-1.png|ממוזער|550px|דוגמה להוכחה ב[[גאומטריה אלגברית]]. סיום ההוכחה מסומן ב[[הלמוש]].]]<br />
[[קובץ:דוגמת הוכחה.png|ממוזער|דוגמה להוכחה ב[[גאומטריה]].]]<br />
תפקידה המתמטי של ההוכחה הוא להפוך רעיונות והשערות לדרך סלולה, שממנה אפשר להתקדם לרעיונות חדשים. על ההצגה הנאותה של הוכחה מתמטית כתב [[הרמן וייל]] "איננו מרוצים כאשר אנו נדרשים לקבל אמת מתמטית מתוקף שרשרת מסובכת של הסקות פורמליות וחישובים, שדרכם אנו מגששים דרכנו במגע. אנו רוצים לקבל סקירה של הדרך ומטרותיה; אנו רוצים להבין את הרעיון, את ההקשר העמוק".<br />
<!--https://www.maa.org/quote_alphabetical/w?page=1--><br />
<br />
==מאפיינים של הוכחות==<br />
הוכחה משתמשת בכללים להסקת מסקנות, אך יש בה גם שימוש נרחב ב[[שפה טבעית]], ולכן עלולה להיות בה עמימות הנובעת מעמימותה של השפה. כדי להימנע מעמימות זו ניתן להשתמש [[הוכחה (לוגיקה מתמטית)|בהוכחה פורמלית]].<br />
<br />
להוכחה משמשות טכניקות אחדות:<br />
* [[הוכחה ישירה]], שבה המסקנה נובעת ישירות מההגדרות, [[אקסיומה|מהאקסיומות]] וממשפטים קודמים. דוגמה להוכחה כזו היא ההוכחה שסכומם של שני [[מספר זוגי|מספרים זוגיים]] יהיה גם זוגי.<br />
* הוכחה ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]]: תחילה בודקים את נכונות הטענה למקרה בסיס מסוים ואחר כך, באמצעות עקרון האינדוקציה, מוכיחים את נכונותה עבור קבוצה אינסופית בת-מנייה של מקרים. דוגמה להוכחה כזו היא הוכחת הנוסחה לסכום של [[סדרה חשבונית]].<br />
* [[הוכחה בדרך השלילה]]: מניחים שהטענה שיש להוכיח אינה נכונה, ומראים שהנחה זו מובילה לסתירה. דוגמה להוכחה כזו היא [[מספר ראשוני#כמה ראשוניים יש|הוכחתו]] של [[אוקלידס]] בדבר קיום מספר אינסופי של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]].<br />
* [[הוכחה בדרך טרנספוזיציה]].<br />
* [[הוכחה על ידי בניה]], היא הוכחה על ידי בניית דוגמה ספציפית, בדרך כלל זו תהיה [[הוכחת קיום]]. באמצעות שיטה זו הוכח קיומם של [[מספר טרנסצנדנטי|מספרים טרנסצנדנטיים]].<br />
* הוכחה ב[[כוח גס]].<br />
* [[הוכחה על ידי מיצוי]], היא שיטה שמפרקת את הטענה למקרים רבים (יותר מ-1,000 במקרה של [[משפט ארבעת הצבעים]]), ומוכיחה כל אחד מהם בנפרד, ועל ידי כך מוכחת הטענה כולה.<br />
<br />
ניתן להבדיל בין שני סוגים של הוכחות:<br />
* הוכחת קיום: הוכחה שמראה את קיומו של עצם מסוים, בלי להראות כיצד ליצור עצם זה.<br />
* הוכחה קונסטרוקטיבית: הוכחה שמראה כיצד ליצור עצם בעל תכונה מסוימת.<br />
<br />
[[משפט ארבעת הצבעים]], שהוכח בשנת 1976, היה המשפט הראשון שלהוכחתו נדרשה [[הוכחה בעזרת מחשב|הסתייעות מהותית במחשב]]. עובדה זו עוררה פולמוס בין ה[[מתמטיקאי]]ם סביב השאלה האם הוכחה כזו, שאדם אינו יכול לבדוק אותה בכוחות עצמו, יכולה להיחשב כהוכחה מתמטית תקפה.<br />
<br />
פעמים רבות ניתן להוכיח טענה מסוימת בדרכים שונות, ולעיתים אף דרכים רבות למדי. [[משפט פיתגורס]] נודע במאות הוכחות שניתנו לו. למשפט הקובע שה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] הם [[קבוצה בת מניה]] מופיעות ב[[ויקיפדיה העברית|וויקיפדיה העברית]] שלוש הוכחות שונות, בערכים: [[קבוצה בת-מנייה]], [[מספר רציונלי#תכונות המספרים הרציונליים|מספר רציונלי]] ו[[עוצמה (מתמטיקה)#שקילות בין קבוצות|עוצמה]].<br />
<br />
נהוג לחתום הוכחות על ידי סימון מוסכם: בעברית: [[מש"ל]] (=מה שהיה להוכיח), באנגלית: .Q.E.D (מלטינית: quod erat demonstrandum, במובן שזהה מילולית אל זה של הביטוי העברי הנ"ל). לחלופין, נוהגים לעיתים בימינו לסמן את סוף ההוכחה על ידי ציור של [[ריבוע]] ריק או מלא ({{Unicode|∎}}) הנקרא [[הלמוש]]. חכמי ה[[תלמוד]] הבבלי, נהגו לחתום הוכחות בסימן ש"מ (מארמית: "שמע מינה"; מילולית: תשמע מזה [את מה שהיה להוכיח]).<br />
<br />
==השערה==<br />
טענות לא מעטות דרשו מאות רבות של שנים עד להוכחתן או להפרכתן. דוגמאות לכך הן [[המשפט האחרון של פרמה]] שזכה להוכחה כ-350 שנה לאחר שהועלה, ו[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]], שהוכחו כבלתי ניתנות לפתרון כאלפיים שנה לאחר שהוצגו. [[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות פתוחות]] (כאלה שטרם זכו להוכחה או להפרכה) רבות ממשיכות ללוות את המתמטיקה, ובין המפורסמות שבהן ניתן למנות את [[השערת גולדבך]] ו[[השערת רימן]].<br />
<br />
האם כל השערה ניתנת להוכחה או להפרכה? שאלה זו תלויה קודם כל במערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] בה אנחנו משתמשים. כיוון שכל הוכחה בנויה משימוש חוזר ונשנה באקסיומות ובכללי ההיסק קביעת אוסף שונה של אקסיומות תתן אוסף שונה של משפטים שניתן להוכיח. לא ניתן לבחור את האקסיומות בצורה שרירותית לחלוטין: אם קיימת סתירה באוסף האקסיומות שלנו אז ניתן להוכיח מתוכו כל משפט (כלומר ניתן להוכיח גם טענה וגם את שלילתה), ולכן אוסף זה אינו מעניין.<br />
<br />
אוסף אקסיומות שלא מכיל סתירה נקרא [[עקביות (לוגיקה)|עקבי]]. לאוסף כזה של אקסיומות יש [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודלים]] שמממשים אותן, ו[[משפט השלמות של גדל]] טוען שאוסף המשפטים שניתן להוכיח מתוך האקסיומות הוא בדיוק אוסף המשפטים שמתקיימים בכל המודלים שמממשים את האקסיומות. לכן, אם לא ניתן להוכיח או להפריך טענה מסוימת מתוך מערכת אקסיומות נתונה, ניתן להוסיף אותה או את שלילתה לאוסף האקסיומות ולקבל אוסף עקבי חדש של אקסיומות.<br />
<br />
מצד שני, ניתן לשאול האם קיים אוסף אקסיומות שהוא מצד אחד עקבי ומצד שני מספיק רחב כדי שיהיה אפשר להוכיח מתוכו או להפריך מתוכו כל טענה? [[משפטי האי-שלמות של גדל|משפט האי-שלמות הראשון של גדל]] נותן תשובה שלילית לשאלה הזו עבור מקרים מעניינים רבים. מערכות אקסיומות שניתן לנסח בהן חלק מספיק משמעותי מהאריתמטיקה, לא יכולות להיות מצד אחד גדולות מספיק כדי שיהיה ניתן להוכיח או להפריך מתוכן כל טענה ומצד שני פשוטות לתיאור. באופן פורמלי: ב[[תורה]] [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] – שהאקסיומות שלה ניתנות לזיהוי מכני [="[[תורה אפקטיבית|אפקטיבי]]"] – ושניתן לפתח בה את ה[[אריתמטיקה]] (של החיבור ושל הכפל), תמיד תהיינה השערות אשר מחד גיסא ניתנות לניסוח (בשפתה של התורה), ואשר מאידך גיסא אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה (במסגרת אותה תורה).<br />
<br />
לעומת זאת, [[תחשיב הפסוקים]] – המהווה את הבסיס של [[לוגיקה מתמטית|הלוגיקה המתמטית]] – הוא [[שלמות (לוגיקה מתמטית)|שלם]], ולכן לא יהיו בו מקרים כאלה. קיימים ענפים נוספים – כוללניים יותר – שהם שלמים (במובן זה), למשל תחשיב הכמתים (ללא סימני פונקציות/יחסים ואף ללא סימן השויון) [[שפה מסדר ראשון|מסדר ראשון]], ואפילו האריתמטיקה של החיבור (ללא הכפל).<br />
<br />
==ראו גם==<br />
* [[פורמליזם (מתמטיקה)]]<br />
* [[הוכחה באפס ידיעה]]<br />
* [[הוכחה שגויה]]<br />
<br />
==לקריאה נוספת==<br />
* [[טימותי גוורס]], '''מתמטיקה''', [[ידיעות ספרים]], 2007, הפרק "הוכחות", עמ' 51–71.<br />
<br />
==קישורים חיצוניים==<br />
{{מיזמים|ויקימילון=הוכחה}}<br />
* {{ynet|מרכוס דה סוטוי|חובת ההוכחה|3327135|15 בנובמבר 2006}} (תיקוני טעויות מופיעים בטוקבק)<br />
* [http://www.ted.com/talks/eduardo_saenz_de_cabezon_math_is_forever Math is forever] – סרטון על ההבדל בין השערה להוכחה, באתר [[TED]]<br />
* {{MathWorld}}<br />
<br />
{{בקרת זהויות}}<br />
<br />
[[קטגוריה:הוכחות|*]]<br />
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]<br />
[[קטגוריה:פילוסופיה של המדע]]<br />
[[קטגוריה:תורת ההוכחות]]</div>imported>Virant