משפט בלוך

סכימה של החלק הממשי של גל בלוך בממד אחד

גל בלוך שְווה פוטנציאל בסריג צורן (סיליקון)

בפיזיקת המצב המוצק, משפט בלוך הוא משפט המאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי, דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות גלי בלוך או פונקציות בלוך.

המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928^[1].

למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות.

ניסוח מתמטי עריכה

למשפט מספר ניסוחים שקולים.

ניסוח ראשון עריכה

אם <math> V(\vec r) </math> הוא פוטנציאל מחזורי של סריג כלשהו, כלומר מתקיים <math> V(\vec r+\vec R) = V(\vec r) </math> עבור כל וקטור הזזה סריגית <math> \vec R </math>, אזי ניתן לכתוב את הפתרונות למשוואת שרדינגר עבור האלקטרונים בסריג כך:

פונקציית בלוך

<math>\psi_{\vec{k

(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} u_{\vec{k}}(\vec{r})</math>

|ריווח תא = 6 |מסגרת = 1}}

כאשר לפונקציה <math> u </math> יש את אותה המחזוריות של הסריג, כלומר לכל <math> \vec r </math> בסריג ולכל הזזה סריגית <math> \vec R </math> מתקיים <math>u_{\vec{k}}(\vec{r} + \vec{R}) = u_{\vec{k}}(\vec{r})</math>.

פונקציות גל אלו הן פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן <math> \mathcal{H} = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec r) </math> עבור האלקטרונים.

ניסוח שני עריכה

בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור <math> \vec k </math>, כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:

לכל הזזה סריגית <math> \vec R </math>.

הוכחה עריכה

המליטוניאן עבור קירוב אלקטרונים לא-תלויים (Independent electron approximation):

<math> \mathcal{H} = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec r) </math>.

נגדיר וקטור סריג:

<math>\vec R \equiv n_1 \vec a_1 + n_2 \vec a_2 + n_3 \vec a_3</math>

כאשר <math>\vec a_2</math>, <math>\vec a_1</math> ו־<math>\vec a_3</math> הם וקטורי סריג פרימיטיביים (<math>n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z}</math>).

נגדיר אופרטורי הזזה בווקטור סריג עבור <math> \vec R </math> כלשהו כמוגדר לעיל:

<math> T_{\vec R} f(\vec r) \equiv f(\vec r + \vec R) </math>.

מכיוון שהפוטנציאל שמור (invariant) להזזה בווקטור סריג (כלומר מתקיים <math> V(\vec r+\vec R) = V(\vec r) </math> עבור כל <math> \vec R </math> כמוגדר לעיל), אז גם ההמילטוניאן שמור להזזה בווקטור סריג.

ניתן להראות שההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג <math> T_{\vec R}</math>:

כלומר הקומוטטור של ההמילטוניאן וּוקטור סריג כלשהו שווה לאפס: <math>[H,T_{\vec R}] = 0</math>.

כמו כן, אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה, כלומר ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:

<math>\begin{cases}

H \psi_n (\vec r) = E_n \psi_n (\vec r) \\ T_{\vec R} \psi_n (\vec r) = C(\vec R) \psi_n (\vec r) \end{cases}</math>

מכיוון שהזזה ב-<math> \vec R_2 </math> ואחריה הזזה ב-<math> \vec R_1 </math> שקולה להזזה ב-<math> \vec R_1 + \vec R_2 </math>, מתקיים:

ולכן: <math> C(\vec R_1 + \vec R_2) = C(\vec R_1) C(\vec R_2) </math>

הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט, ולכן:

<math> C(\vec R) = e^{i\vec k \cdot \vec R} </math>.

לסיום:

כלומר:

וזה הניסוח השני של המשפט.

בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.

גזירת הניסוח הראשון עריכה

נכפיל את שני האגפים ב־<math>e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)}</math>:

נגדיר:

<math>u(\vec r) \equiv \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r}</math>

ולכן:

<math>\psi (\vec r+\vec R)e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)} = \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r} \Rightarrow u(\vec r + \vec R) = u(\vec r)</math>

כלומר הפונקציה <math>u(\vec r)</math> היא פונקציה מחזורית והמחזוריות שלה זהה למחזוריות הסריג.

לפי ההגדרה של <math>u(\vec r)</math> נקבל:

מ.ש.ל

לקריאה נוספת עריכה

Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8)

הערות שוליים עריכה

^ יש לציין כי תכונות דומות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות היו ידועות בתקופה מוקדמת יותר

[1] יש לציין כי תכונות דומות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות היו ידועות בתקופה מוקדמת יותר

[1]