מספר פריק במיוחד

מספר פריק במיוחד (או מספר "אנטי ראשוני"^[1]) הוא מספר שלם חיובי שמספר המחלקים שלו עולה על זה של כל מספר קטן ממנו. עשרים המספרים הראשונים מסוג זה הם:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560 ו-10080.

ישנם אינסוף מספרים פריקים במיוחד. כדי להוכיח עובדה זו, נניח ש-n הוא מספר פריק במיוחד כלשהו. ל-2n יש יותר מחלקים מאשר ל-n (כי 2n מתחלק בעצמו ובכל המחלקים של n), ולכן קיים מספר גדול מ-n אך לא גדול מ-2n שהוא מספר פריק במיוחד.

מבחינה לא פורמלית, כדי שמספר יהיה פריק במיוחד הוא צריך שיהיו לו גורמים ראשוניים קטנים ככל האפשר, ושיהיו שונים זה מזה.

אם נפרק מספר n לגורמים ראשוניים בצורה הבאה:

<math>n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}</math>

כאשר <math>p_1 < p_2 < \cdots < p_k</math> הם ראשוניים, המעריכים <math>c_i</math> הם מספרים שלמים וחיוביים, אז מספר המחלקים של n הוא בדיוק:

<math>(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1)</math>.

ולכן כדי ש-n יהיה מספר פריק במיוחד:

• k המספרים הראשוניים הנתונים <math>p_i</math> חייבים להיות k המספרים הראשוניים הראשונים (2, 3, 5...); אחרת, נוכל להחליף אחד הראשוניים הנתונים בראשוני קטן יותר, ובכך להשיג מספר קטן יותר מ-n שלו אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 10=2*5 ניתן להחליף ל-6=2*3 לשניהם יש 4 מחלקים).
• סדרת המעריכים צריכה להיות יורדת במובן החלש, כלומר <math>c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k</math>; אחרת על ידי החלפת שני מעריכים החורגים מכלל זה ניתן לבנות מספר קטן יותר מ-n עם אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 18=2¹x3² ניתן להחליף ב-12=2²x3¹, לשניהם 6 מחלקים).

תנאים אלה אינם מספיקים (מספר המחלקים של <math>210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math> שווה לזה של <math>120=2^3\cdot 3\cdot 5 </math> הקטן ממנו).

ראו גם

• מספר פריק

קישורים חיצוניים

• קובץ:YouTube full-color icon (2017).svg 5040 and other Anti-Prime Numbers, בביצוע ד"ר ג'יימס גריים, סרטון בערוץ "Numberphile", באתר יוטיוב (אורך: 13:37) (באנגלית)
• מספר פריק במיוחד, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת המספרים הפריקים במיוחד באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים