מספר מעושר
פעולות נוספות
מספר מעושׂר הוא מספר מצולע מסדר 10, משמע מספר <math>D</math> כך שניתן לסדר <math>D</math> עצמים בצורת מעושר (מצולע בעל 10 צלעות) משוכלל. המספר המעושר ה-n-י נתון על ידי הנוסחה <math>D_n = n(4n-3)</math>. הנוסחה היא מקרה פרטי של הנוסחה הכללית למספר מצולע.
עשרת המספרים המעושרים הראשונים הם: 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297 ו-370.
תכונות עריכה
המספר המעושר ה-n-י זוגי כאשר n זוגי ואי-זוגי כאשר n אי-זוגי.
השיטה הסטנדרטית למציאת מספרים שהם מספרים מצולעים משני סדרים שונים היא באמצעות פתרון משוואות פל. משיטה זו נובע שאין מספר מעושר שהוא מספר ריבועי (למעט המקרה הטריוויאלי <math>D_1 = 1^2 = 1</math>). מספרים מעושרים הם המספרים המצולעים מהסדר הקטן ביותר שטענה זו תקפה לגביהם.[1]
<math>D_n</math> הוא מספר המחלקים השונים של המספר <math>48^{n-1}</math>. זאת משום שהפירוק לגורמים שלו הוא <math> 48^{n-1} = 2^{4n-4}\cdot 3^{n-1}</math>, ולכן לפי הנוסחה הידועה לפונקציית המחלקים:
- <math> d(48^{n-1}) = (4n-4+1)(n-1+1) = (4n-3)n = D_n</math>.
אם מתחילים את ספירלת אולם מהמספר 0, במקום מ-1 כמקובל, המספרים המעושרים מופיעים ברצף בשורה האמצעית, המתחילה מ-1 והולכת ימינה.
בתורת הגרפים, אינדקס וינר של גרף הוא סכום של מרחקים בין כל זוגות הצמתים בגרף. <math>D_n</math> הוא אינדקס וינר של הגרף המורכב משני עותקים של הגרף השלם <math>K_n</math>, המחוברים ביניהם בקשת אחת. תוצאה זו מתקבלת מחישוב ישיר פשוט: יש <math>n(n-1)+1</math> זוגות של צמתים שהמרחק ביניהם הוא 1; <math>2(n-1)</math> זוגות עם מרחק 2; ו-<math>(n-1)^2</math> זוגות עם מרחק 3. בסך הכל אינדקס וינר יוצא:
- <math>1\cdot (n(n-1)+1) + 2\cdot 2(n-1) + 3\cdot (n-1)^2 = n(4n-3) = D_n</math>