דטרמיננטת דיידונה

בתורת החוגים, דטרמיננטת דודונה היא הכללה של הדטרמיננטה ממטריצות מעל חוגים קומוטטיביים, אל מטריצות מעל חוג מקומי כלשהו (לרבות שאינו קומוטטיבי). הדטרמיננטה נקראת כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן דודונה שהמציא אותן ב-1943.

לכל חוג קומוטטיבי <math>F</math>, הדטרמיננטה היא הומומורפיזם <math>\operatorname{GL}_n(F) \rightarrow F^{\times}</math> מחבורת המטריצות ההפיכות אל החבורה הכפלית של <math>F</math>. אם <math>D</math> חוג לא קומוטטיבי לא קיימת פונקציה כזו. במקומה, אם <math>R</math> חוג מקומי (בפרט: אם <math>R</math> חוג פשוט, ובמיוחד חוג עם חילוק), קיימת פונקציה יחידה אל האבליזציה, <math>\operatorname{det}\,{:}\,\operatorname{GL}_n(R) \rightarrow R^{\times}/[R^{\times},R^{\times}]</math>, המקיימת את התכונות הבאות:

1. אם <math>A'</math> מתקבלת מהוספת כפולה (שמאלית) בסקלר של שורה אחת לשורה אחרת במטריצה <math>A</math>, אז <math>\operatorname{det}(A') = \operatorname{det}(A)</math>;
2. אם <math>A'</math> מתקבלת מהכפלת שורה של המטריצה <math>A</math> בקבוע <math>a</math>, אז <math>\operatorname{det}(A') = a\operatorname{det}(A)</math>;
3. <math>\operatorname{det}(I) = 1</math>.

הדטרמיננטה הזו כפלית, מחליפה סימן תחת החלפת שורות, ואינה מושפעת משחלוף המטריצה. אם <math>R</math> חוג קומוטטיבי (מקומי), כגון שדה, אז זו הדטרמיננטה המוכרת מאלגברה ליניארית.

מקורות

• J. Rosenberg, Algebraic K-Theory and its applications, section 2.2.