אליפסואיד

קובץ:Ellipsoid circular sections.gif

חתכים מעגליים של אליפסואיד

קובץ:Triaxial Ellipsoid.jpg

תרשים של אליפסואיד כאשר כל אחד מהערכים <math>a,b,c</math> שונים זה מזה

אֶלִּיפְּסוֹאִיד הוא גוף תלת-ממדי שכל חתך שלו יוצר אליפסה. צורתו של כדור הארץ ניתנת לתיאור על ידי אליפסואיד.

המשוואה הכללית שמתארת אליפסואיד במערכת צירים קרטזית היא: <math> \ \left( \frac{x}{a} \right)^2 + \left( \frac{y}{b} \right)^2 + \left( \frac{z}{c} \right)^2 = 1</math>, כאשר <math>\ a,b,c</math> הם קבועים המכונים צירי האליפסואיד. המרחק בין מרכז האליפסואיד <math>(0,0,0)</math> לבין הנקודות <math>(a,0,0), (0,b,0), (0,0,c)</math> שנמצאות על פני האליפסואיד נקראים חצי ציר. כאשר בהתאם לגודל של <math>a,b,c</math> מוגדר חצי ציר ראשי וחצאי ציר משניים.

קיימים מקרים פרטיים של אליפסואיד:

• <math>a=b</math> - נקרא ספרואיד. ספרואיד אפשר לקבל כגוף סיבוב של אליפסה.
  • <math>a=b>c</math> - נקרא ספרואיד אובלי. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ (הפחוס בקטבים בגלל השפעת הסיבוב).
  • <math>a=b<c</math> - נקרא ספרואיד מוארך. זוהי צורתם של כדורי פוטבול ורוגבי.
• <math>a=b=c</math> - כדור.

בספרות המתמטית אליפסואיד הוא שם כללי לכל סוגי האליפסואיד, אולם בספרות מדעית אחרת (בעיקר גאודזיה), אלפסואיד מתאר ספרואיד.

נפחו של אליפסואיד הוא <math>\frac{4}{3} \pi \cdot a b c </math>.

שטח הפנים של אליפסואיד הוא

<math>S = 2\pi c^2 + \frac{2\pi ab}{\sin(\varphi)}\left(E(\varphi, k)\,\sin^2(\varphi) + F(\varphi, k)\,\cos^2(\varphi)\right)</math>

כאשר

<math>

 \cos(\varphi) = \frac{c}{a},\qquad
 k^2 = \frac{a^2\left(b^2 - c^2\right)}{b^2\left(a^2 - c^2\right)},\qquad
 a \ge b \ge c,

</math>

F(φ, k) ו-E(φ, k) הם אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון והשני בהתאמה.

מקרה כללי

במקרה הכללי ניתן להגדיר אליפסואיד n ממדי (נקרא לעיתים היפראליפסואיד) באמצעות : <math display="block">E \equiv \{x \mid (\mathbf{x-c})^\mathrm{T}\! A\, (\mathbf{x-c}) \leq 1\}</math> כאשר <math>A</math> היא מטריצה חיובית, <math>\mathbf{x}</math> ו-<math>\mathbf{c}</math> הם וקטורים. הווקטורים העצמיים של <math>A</math> קובעים את צירי האליפסואיד, והערכים עצמיים שלה הם ההופכיים של ריבועי חצאי הצירים, ואילו c מגדירה את מרכז האליפסואיד.

באופטימיזציה ובלמידת מכונה נעשה שימוש באליפסואיד ממד גבוה במסגרת שיטה איטרטיבית לאופטימיזציה קמורה, המוכרת כשיטת האליפסואיד , שבמסגרתה נוצרת סדרת אליפסואידים שלהם נפח הולך וקטן בכל שלב עד להתכנסות למציאת הפתרון.

קישורים חיצוניים

• אליפסואיד, באתר MathWorld (באנגלית)
• אליפסואיד, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

קובץ:P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.