מטריצת אפסים

במתמטיקה ובפרט באלגברה ליניארית, מטריצת אפסים היא מטריצה שכל איבריה הם 0, כלומר אפסים. לדוגמה:

<math> 0_{1,1} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} ,\ 0_{2,2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ 0_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ </math>

קבוצת המטריצות מסדר m×n בחוג K יוצרת את החוג <math>K_{m,n} \,</math>. מטריצת האפסים <math>0_{K_{m,n}} \, </math> ב-<math>K_{m,n} \, </math> היא המטריצה שכל איבריה שווים ל-<math>0_K \, </math>, כאשר <math>0_K \, </math> הוא איבר האפס ב-K. דהיינו:

<math> 0_{K_{m,n}} = \begin{bmatrix} 0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\ 0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_K & 0_K & \cdots & 0_K \end{bmatrix}_{m \times n} </math>

מטריצת האפסים היא איבר האפס ב-<math>K_{m,n} \, </math>, כלומר לכל <math>A \in K_{m,n} \, </math> מתקיים:

<math>0_{K_{m,n}}+A = A + 0_{K_{m,n}} = A</math>

עבור החוג K קיימת בדיוק מטריצת אפסים אחת מסדר <math>m\times n</math>, כך שבהקשר ברור ניתן להתייחס אליה כאל מטריצת האפסים. גם איבר האפס מיוצג בדרך כלל באמצעות 0 כך שניתן להגדירה באופן גנרי עבור כל חוג.

מטריצת אפסים מייצגת טרנספורמציה ליניארית המעבירה כל וקטור לווקטור האפס.

בעיית מטריצת האפסים

בעיית מטריצת האפסים מוגדרת בהינתן קבוצה סופית של מטריצות <math>n \times n</math> עם ערכים שלמים, ושואפת למצוא אלגוריתם מתמטי שיקבע האם ניתן להכפילן בסדר כלשהו, ייתכן עם חזרות, באופן שתוצר ההכפלה יהיה מטריצת האפס.

הוכח כי בעיית מטריצת האפסים עבור קבוצה של 6 או יותר מטריצות <math>6 \times 6</math>, או של שתי מטריצות <math>15 \times 15</math> היא בעיה לא כריעה.

ראו גם

• מטריצת היחידה
• מטריצת אחדות

קישורים חיצוניים

• מטריצת אפסים, באתר MathWorld (באנגלית)