קואורדינטות כדוריות

2025-04-04T08:18:28Z

192.114.91.248: ביטלתי את הגולל

{{קואורדינטות}}
'''קואורדינטות כדוריות''' (נקראות גם '''קואורדינטות ספריות''', ב[[אנגלית]]: '''Spherical coordinates''') הן מערכת [[קואורדינטות]] המתארות את [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] [[מרחב תלת-ממדי|<math>\ \mathbb{R}^3</math>]]. כל נקודה במרחב מתוארת על ידי המרחק שלה מ'''ראשית הצירים''' והכיוון שלה במרחב (2 [[זווית|זוויות]] אוריינטציה הנקבעות ביחס לציר z וציר x ב[[מערכת צירים קרטזית]]).

בהרבה מקרים ובעיות [[פיזיקה|פיזיקליות]] בהן יש סימטריה כדורית נוח לתאר את המרחב באמצעות קואורדינטות כדוריות. בקואורדינטות אלה מחליפות <math> r, \theta, \phi</math> את x, y, z.

== הגדרה ==
[[קובץ:Spherical_coordinate_system.jpg|ממוזער|250px|שמאל|קואורדינטות כדוריות – הגדרה]]
הגדרת הקואורדינטות הכדוריות <math>(r, \theta, \phi)</math> נעשית באמצעות אינטואיציה [[גאומטריה|גאומטרית]]. נמתח חץ מן הראשית (0,0,0) אל הנקודה (x,y,z) ולחץ זה נקרא [[וקטור (אלגברה)|וקטור]]. אזי הקואורדינטות הכדוריות מוגדרות באופן הבא (ראו איור).
* '''הקואורדינטה <math> r</math>:''' קואורדינטה זו מייצגת את ה[[מרחק]] שבין הנקודה לראשית. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך ממשי אי-שלילי (כולל אפס).
* '''הקואורדינטה <math>\theta</math> (תטא):''' קו-רוחב, מייצגת את הזווית שבין הווקטור לציר z, כאשר בזווית אפס הווקטור פונה כלפי מעלה. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל־<math>\pi</math>.
* '''הקואורדינטה <math> \phi </math> (פי):''' [[אזימוט]], מייצגת את הזווית שבין ההיטל של הווקטור על המישור xy לבין ציר x. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל־<math>\ 2 \pi</math>.

בדרך זאת משיגים [[כלל יד ימין|מערכת צירים '''ימנית''']]. ישנם הסכמים ושימושים שונים הנוגעים לטווח השינוי של הקואורדינטות הכדוריות, נדבוק בהסכם: <math>( r, \theta, \phi)\in [0,\infty)\times [0,\pi] \times [0,2\pi)</math>

לכן, אם נתון לנו גוף ששיעוריו הכדוריים הם <math>\,( r, \theta, \phi)</math> אזי שיעוריו ה[[מערכת צירים קרטזית|קרטזיים]] <math>\,( x, y, z)</math> הם:

::<math>\, x = r \sin{\theta} \cos{\phi}</math>
::<math>\, y = r \sin{\theta} \sin{\phi}</math>
::<math>\, z = r \cos{\theta}</math>

הטרנספורמציה ההפוכה נתונה בנוסחאות הבאות:
::<math>\, r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>
::<math>\theta=\arccos\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \right)</math>
::<math>\, \phi = \arctan \left( { y \over x } \right)</math>
מכיוון שהזווית <math>\phi</math> מוגדרת מאפס עד <math>\ 2 \pi</math>, יש להשתמש בפונקציה <math>atan2(y,x)</math> אשר מחזירה זווית בין <math> 0 < \phi < 2\pi </math> כתלות בערכי <math>x</math> ו-<math>y</math> ולא רק במנה שלהם.

== וקטורי היחידה ווקטור המיקום ==

ב[[מערכת צירים קרטזית|קואורדינטות קרטזיות]] אפשר לרשום את כיוונו של כל וקטור בצורה:
: <math>\ \vec{A} = A_x \hat{e}_x + A_y \hat{e}_y + A_z \hat{e}_z = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z} </math>
כאשר <math>\ \hat{e}_i \, \ i = \{ x, y, z \}</math> הם [[וקטור יחידה|וקטורי היחידה]] הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטור היחידה x הוא וקטור המצביע בכיוון החיובי של ציר x ו[[אורך|אורכו]] הוא 1 (ליתר דיוק נכון לומר שה[[נורמה (אלגברה)|נורמה]] שלו שווה ל-1), באותו אופן לגבי וקטורי היחידה בצירים y ו-z.

אנו נרצה להציג באותה צורה את הווקטור גם בקואורדינטות כדוריות:
: <math>\ \vec{A} = A_r \hat{e}_r + A_\theta \hat{e}_\theta + A_\phi \hat{e}_\phi</math>
כאשר לווקטורים <math>\ \hat{e}_j \, \ j = \{ r, \theta, \phi \}</math> נקרא "וקטורי היחידה הכדוריים".

אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב ולקבל שהם נתונים על ידי:
: <math>
\begin{matrix}
\hat{r} = \hat{e}_r & = & ( \sin\theta \cos\phi ) \hat{x} & + ( \sin\theta \sin\phi ) \hat{y} & + ( \cos\theta ) \hat{z} \\
\hat{\theta} = \hat{e}_\theta & = & ( \cos\theta \cos\phi ) \hat{x} & + ( \cos\theta \sin\phi ) \hat{y} & - ( \sin\theta ) \hat{z} \\
\hat{\phi} = \hat{e}_\phi & = & ( - \sin\phi ) \hat{x} & + ( \cos\phi ) \hat{y} & + (0) \hat{z} \end{matrix}
</math>

כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה.

למרות זאת, וקטורים אלה עדיין שומרים על [[אורתוגונליות|אורתונורמליות]] ומהווים שלשה אורתוגונלית ימנית: <math>\ \hat{r} \times \hat{\theta} = \hat{\phi}</math>.

עבור [[העתק (פיזיקה)|וקטור ההעתק]], אף על פי שבקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים שלו הן הקואורדינטות שלו, כלומר:
: <math>\ \vec{r} = x \hat{e}_x + y \hat{e}_y + z \hat{e}_z </math>
או במפורש:
:<math>\ r_x(x,y,z) =x</math>,
:<math>\ r_y(x,y,z) = y </math>,
:<math>\ r_z(x,y,z) = z </math>,

הרי, זה [[מקרה פרטי]], ובמערכת קואורדינטות כדורית, וקטור המיקום (וקטור שיוצא מראשית הצירים) ייוצג ללא <math>\hat{e}_\theta, \hat{e}_\phi</math>:
: <math>\ \vec{r} = r \hat{e}_r(r,\theta,\phi) </math>
כלומר:
: <math>\ r_r(r,\theta,\phi) =r </math>,
:<math>\ r_\theta(r,\theta,\phi) = 0 </math>,
:<math>\ r_\phi(r,\theta,\phi) = 0 </math>.
:ההסבר לכך הוא ש<math>\hat{e}_r</math> הוא [[פונקציה]] של <math>\theta,\phi</math>, אך לווקטור המיקום אין רכיבים בכיוונים אלו.
:הסיבה לכך היא שהכיוון מראשית הצירים לכל נקודה על הכדור תלוי רק ב-<math>r </math>, בניגוד לתיאור וקטור מיקום בין שני וקטורים שיצריך גם התייחסות ל-<math>\theta</math> ו-<math>\phi</math>.

== תכונות מטריות ==

ה[[מטריקה]] (כלומר: המרחק בין כל שתי נקודות) בקואורדינטות אלה נקבע על ידי [[הטנזור המטרי]] שנותן את אלמנט האורך הדיפרנציאלי. הטנזור המטרי כאן הוא [[מטריצה אלכסונית]], שאלמנטיה השונים מאפס הם:
: <math>\ g_{rr} = 1 \, \ g_{\theta \theta} = r^2 \, \ g_{\phi \phi} = r^2 \sin^2 \theta </math>

ולכן אלמנט האורך הדיפרנציאלי הוא:
: <math>\ d\vec{l} = ( dr ) \hat{r} + ( r d \theta ) \hat{\theta} + (r \sin\theta d\phi) \hat{\phi}</math>



=== שטחים ונפחים ===

מכיוון שמדובר במערכת צירים "עקומה", אלמנט הנפח ה[[חשבון אינפיניטסימלי|אינפיניטסימלי]] כאן הוא לא פשוט מכפלה של <math>\!\, d r, d \theta, d \phi</math>. נסתכל על אלמנט נפח אינפיניטסימלי שמונח על קליפה עבה של כדור, שהוא כל כך קטן עד שבקירוב די טוב הוא קובייתי. עוביו הוא <math>\ dr</math>, גובהו הוא <math>\ r d \theta</math> ואילו אורכו (ההיקף) הוא <math>\ r \sin{\theta} d \phi</math> ולכן הנפח של אלמנט הנפח האינפיניטסימלי יהיה:
::: <math>\!\, dV = r^2 \sin{\theta} \ dr \ d \theta\ d \phi</math>.

באותו אופן מחושב גם את השטח של אלמנט השטח ואת האורך של אלמנט האורך האינפיניטסימלי.

אלמנט אורך בקואורדינטות כדוריות:
:<math>d\vec{l}=dr\hat{r}+rd\theta \hat{\theta}+r\sin\theta d\varphi \hat{\varphi} </math>.

אלמנט שטח בקואורדינטות כדוריות כאשר:
* משטח r קבוע: <math>da_r=r^2\sin\theta d\varphi d\theta</math>
* משטח θ קבוע: <math>da_\theta=r\sin\theta dr d\varphi </math>
* משטח φ קבוע: <math>da_\varphi=r dr d\theta </math>

== אנליזה וקטורית ==
[[אנליזה וקטורית]] היא כלי שימושי בבעיות פיזיקליות, לרבות בעיות פיזיקליות בעלות סימטריה כדורית. תחום זה מטפל בשינוי של [[שדה סקלרי|שדות סקלריים]] ו[[שדה וקטורי|וקטוריים]] בזמן ובמרחב. מובאות כאן הנוסחאות השימושיות של נגזרות וקטוריות ([[גרדיאנט]], [[דיברגנץ]], [[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]] ו[[לפלסיאן]]) בקואורדינטות כדוריות:

<math>d \vec l=(dr)\hat r + (rd\theta)\hat \theta + (r\sin (\theta)d\phi)\hat \phi \quad \Rightarrow \quad dV = r^2\sin \theta \cdot dr \cdot d\theta \cdot d\phi</math>

[[גרדיאנט]]: <math>\vec \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \hat \theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat \phi</math>

[[דיברגנץ]]: <math>\vec \nabla \mathbf{\cdot}\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 F_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial (F_\theta \sin \theta)}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}</math>

[[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]]: <math>\vec \nabla \times \vec F = \frac{1}{r\sin \theta}\left( \frac{\partial (F_{\phi} \sin \theta )}{\partial \theta}-\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \phi}\right)\hat r + \frac{1}{r}\left( \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \phi}-\frac{\partial (r F_{\phi})}{\partial r}\right) \hat \theta + \frac{1}{r}\left( \frac{\partial (rF_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial F_r}{\partial \theta}\right)\hat \phi</math>

[[לפלסיאן]]: <math>\nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\left( \frac{\partial ^2 f}{\partial \phi^2}\right)</math>

== קינמטיקה ==
בקואורדינטות כדוריות, המיקום של חלקיק נקודתי (שלעיתים קרובות נכתב גם כ[[n-יה סדורה|שלשה סדורה]] <math>(r,\theta, \varphi)</math>) יכול להיכתב כך:

: <math>\mathbf{r} = r \mathbf{\hat r} .</math>

ומהירותו הקווית של החלקיק היא:

: <math>\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{r} \mathbf{\hat r} + r\,\dot\theta\,\hat{\boldsymbol\theta } + r\,\dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}}</math>

בבעיות של דינמיקה תלת-ממדית שמערכת הקואורדינטות ה"טבעית" לתיאור שלהן היא כדורית, כמו תיאור הכוח הפועל על פגז הנורה מקנה תותח בעל מהירויות צידוד והגבהה מסוימות, הביטוי עבור [[תאוצה|תאוצת חלקיק]] בקואורדינטות כדוריות מתגלה כחיוני. בשביל לפתח אותו, יש לרשום תחילה את הביטויים לנגזרות לפי הזמן של שלשת וקטורי היחידה <math>\hat{r},\hat{\varphi},\hat{\theta}</math>:

: <math> \frac{d\hat{\boldsymbol r}}{dt} = \dot{\varphi} \mathbb{sin}\theta \hat{\boldsymbol\varphi} + \dot{\theta}\hat{\boldsymbol\theta} </math>
: <math> \frac{d\hat{\boldsymbol\varphi}}{dt} = -\dot{\varphi} \mathbb{sin}\theta \hat{\boldsymbol r} - \dot{\varphi}\mathbb{cos}\theta\hat{\boldsymbol\theta} </math>
: <math> \frac{d\hat{\boldsymbol\theta}}{dt} = -\dot{\theta} \hat{\boldsymbol r} + \dot{\varphi}\mathbb{cos}\theta\hat{\boldsymbol\varphi} </math>

ובאמצעות גזירה לפי הזמן של הביטוי למהירות החלקיק בקואורדינטות כדוריות מקבלים שווקטור התאוצה הוא:

:<math>
\begin{align}
\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = {} & \left( \ddot{r} - r\,\dot\theta^2 - r\,\dot\varphi^2\sin^2\theta \right)\mathbf{\hat r} \\
& {} + \left( r\,\ddot\theta + 2\dot{r}\,\dot\theta - r\,\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\theta } \\
& {} + \left( r\ddot\varphi\,\sin\theta + 2\dot{r}\,\dot\varphi\,\sin\theta + 2 r\,\dot\theta\,\dot\varphi\,\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi}
\end{align}
</math>

ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]] של החלקיק הוא:

: <math> \mathbf{L} =
\mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} = m r^2 (- \dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\theta}} + \dot\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi })
</math>

כאשר <math>m</math> היא מסת החלקיק. במקרה של <math> \varphi </math> קבוע (תנועה לאורך [[קו אורך]]) או <math>\theta = \frac{\pi}{2}</math> (תנועה במישור ''xy'' בלבד) הביטויים האחרונים מתנוונים לביטוי לתאוצת חלקיק ב[[קואורדינטות גליליות]], כך שניתן לזהות בין היתר את [[כוח קוריוליס|איבר קוריוליס]] ואת איבר [[כוח צנטריפוגלי|הכוח הצנטריפוגלי]].

ה[[אנרגיה קינטית|אנרגיה הקינטית]] של החלקיק היא:

: <math> E_k =
\frac{1}{2}m \left[ \left(\dot{r}^2\right) + \left(r\dot{\theta}\right)^2 + \left(r\dot{\varphi}\sin\theta\right)^2 \right]
</math>

== ראו גם ==
* [[כדור (גאומטריה)]]
* [[הרמוניות ספריות|הרמוניות כדוריות]]
* [[תנע זוויתי]]
* [[אנליזה וקטורית]]
* [[גאומטריה דיפרנציאלית]]
* [[דל במערכות צירים שונות]]

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [https://youtu.be/JRXXNcDjyig?list=PLW6KNQoisKdsaND4eIPz3Ye9cA4ShlOy8&t=3237 HIT קואורדינטות כדוריות] – הסבר אינטואיטיבי על קואורדינטות כדוריות
* {{MathWorld|SphericalCoordinates}}
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:קואורדינטות]]

[[fi:Koordinaatisto#Pallokoordinaatisto]]
[[it:Sistema di riferimento#Il sistema sferico]]

ראם סמואל

2024-12-31T09:46:00Z

192.114.91.248:

{{ספורטאי}}
'''ראם סמואל''' (נולד ב־[[20 בספטמבר]] [[1964]]) הוא [[נהג]] [[מרוץ מכוניות|מרוצי מכוניות]] [[ישראלים|ישראלי]] ו[[מנטור]]. פעמיים אלוף [[צרפת]] במסגרת הליגה האירופית של מרוצי [[ראלי]] (1994 ו-1997).

ראם מומחה בפיתוח הדרכות לנהיגה נכונה ובטוחה ולאחרונה פיתח הדרכה ייחודית לנהגים צעירים שמשפרת את הנהיגה של הנהג הצעיר ומגבירה בעשרות אחוזים את יכולתו להימנע מתאונה.

== ביוגרפיה ==
בנעוריו חלה סמואל ב[[סוכרת נעורים]], והוא נהג המרוצים הסוכרתי הראשון בעולם במסגרת [[הפדרציה הבין-לאומית לרכב|הפדרציה הבינלאומית לרכב]]. סמואל התחרה בארץ ובאירופה בשנים 1991–2000 וזכה פעמיים באליפות [[צרפת]] במרוצי ראלי, כאשר השתתף גם במרוצים במסגרת [[אליפות אירופה בראלי]] (1994 ו-1997) ובהמשך אימן במספר בתי ספר ל[[נהיגה מתקדמת]] בעולם.

בשנת 1996 הקים סמואל בית ספר ישראלי לנהיגה מתקדמת בשם "מסלולים". בשנת 2013 רכשה קבוצת "רוביקון ביזנס גרופ", בראשות איש העסקים [[אמיר ברמלי]], 50% מחברת "מסלולים". באפריל 2015 הודיע על מכירת חלקו בחברת מסלולים{{הערה|אלי שאולי, [https://www.auto.co.il/article/111836-car-news ראם סמואל עוזב את מסלולים], [[אוטו (מגזין)|אוטו]], 7 באפריל 2015}}. היה מהמקימים והבעלים של חברת "פרודרייב", שנותנת שירותים מקצועיים בתחום נהיגה והדרכה בנהיגה מתקדמת וספורטיבית. בראשית שנת 2024, מכר ראם את חלקו בחברת פרודרייב ופנה להתמחות בהדרכה והנחיה לנהגים צעירים.

סמואל הוא מנטור בתחום הנהיגה והעצמה אישית ומפתח תכנים ב[[לימוד נהיגה]] בטוחה, נכונה, מתקדמת וספורטיבית. בנוסף מרצה בנושאי הגשמה ופיתוח עצמי לקבוצות שונות; פרסם מאמרים בנושא נהיגה נכונה בעיתונות וב[[אתר אינטרנט|אתרי אינטרנט]]; הנחה הדרכות נהיגה נכונה בטלוויזיה. ומשמש כיועץ בתחום הנהיגה בירחוני רכב ובתוכניות טלוויזיה שונות.

== חיים אישיים ==
סמואל נשוי לאיילת ואב לבן ולבת, מתגורר ב[[גני תקווה]].

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{אתר רשמי}}
{{פרופילי ספורטאים}}
* {{ynet|עינת שגיא אלפסה|נהג המירוצים הישראלי שזכה באליפות - למרות הסוכרת|4635792|2 באפריל 2015}}
* [https://us.motorsport.com/rally/news/merc-reem-samuel-profile/1196384/ MERC: Reem Samuel profile], Motorsport Network,{{כ}} 2 במאי 2001 {{אנגלית}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{מיון רגיל:סמואל, ראם}}
[[קטגוריה:נהגי מכוניות מרוץ ישראלים]]
[[קטגוריה:גני תקווה: אישים]]
[[קטגוריה:ישראלים שנולדו ב-1964]]

קטגוריה:יהדות ספרד

2024-09-11T08:23:18Z

192.114.91.248: קטגוריה

[[קטגוריה:יהדות התפוצות לפי מדינה|ספרד]]
[[קטגוריה:ספרד: דמוגרפיה]]
[[קטגוריה:ספרד: דת]]
[[קטגוריה:קבוצות אתניות יהודיות]]
[[קטגוריה:יהדות אירופה]]

Pinkas - תרומות המשתמש [he]

קואורדינטות כדוריות

ראם סמואל

קטגוריה:יהדות ספרד